Title: IN0018_DWT / DWT: Diskrete Zufallsvariablen
On every note of this deck, unless a note says otherwise:
Title: IN0018_DWT::DWT: Diskrete Zufallsvariablen
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Front: Wie haben wir (numerische) Zufallsvariablen definiert?
Back: Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum auf der Ergebnismenge Ω gegeben.
[$$]X: \Omega \to \mathbb{R}[/$$]

Front: Definiere den Wertebereich von diskreten Zufallsvariablen
Back: [$$]W_X := X(\Omega) = \{ x \in \mathbb{R}; \exists \omega \in \Omega : X(\omega) = x\}[/$$]

Front: Was gilt für den Wertebereich diskreter Zufallsvariablen?
Back: Der Wertebereich ist ebenfalls wieder endlich (bzw. abzählbar unendlich)

Front: Definiere die diskrete Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X.
Back: [$$]f_x : \mathbb{R} \ni x \mapsto \Pr[X = x] \in [0, 1][/$$]

Front: Definiere die diskrete Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X.
Back: [$$]F_X : \mathbb{R} \ni x \mapsto \Pr[X \leq x] = \sum_{x' \in W_X : x' \leq x} \Pr[X = x'] \in [0, 1][/$$]

Front: Definiere den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable X.
Back: [$$]\mathbb{E}[X] := \sum_{x \in W_X} x \cdot \Pr[X = x] = \sum_{x \in W_X} x \cdot f_x(x)[/$$]
sofern die Summe absolut konvergiert.

Front: Wann ist der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable X nicht definiert?
Back: [$$]\sum_{x \in W_X} |x| \cdot \Pr[X = x] = \infty[/$$]

Front: Welche Monotonieeigenschaften gelten für den Erwartungswert für zwei Zufallsvariablen X und Y [$$]X(\omega) \leq Y(\omega)[/$$]?
Back: [$$]\mathbb{E}[X] = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot \Pr[\omega] \leq \sum_{\omega \in \Omega} Y(\omega) \cdot \Pr[\omega] = \mathbb{E}[Y][/$$]

Front: Wann gilt [$]a \leq \mathbb{E}[X] \leq b[/$]?
Back: Wenn [$]\forall \omega \in \Omega : a \leq X(\omega) \leq b[/$]

Front: Wann ist [$]Y := f(X) = f \circ X[/$] wieder eine Zufallsvariable?
Back: Wenn [$]W_X \subseteq \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}[/$]

Front: Was versteht man unter der Linearität des Erwartungswerts
Back: [$$]\mathbb{E}[a \cdot X + b] = a \cdot \mathbb{E}[X] + b[/$$]

Front: Wahr oder Falsch? [$]\mathbb{E}[X] = \sum_{i = 1}^\infty \Pr[X \geq i][/$]
Back: Wahr für eine Zufallsvariable mit [$]W_X \subseteq \mathbb{N}_0[/$]

Front: Sei X eine Zufallsvariable und A ein Ereignis mit [$]\Pr[A] > 0[/$].
Was ist die Dichte einer bedingten Zufallsvariable [$]X | A[/$]?
Back: [$$]f_{X | A}(x) := \Pr[X = x | A] = \frac{\Pr[(X = x) \cap A]}{\Pr[A]}[/$$]

Front: Sei X eine Zufallsvariable und A ein Ereignis mit [$]\Pr[A] > 0[/$].
Wie berechnet man [$]\mathbb{E}[X|A][/$]?
Back: [$$]\mathbb{E}[X | A] = \sum_{x \in W_X} x \cdot f_{X | A}(x)[/$$]

Front: Sei X eine Zufallsvariable und [$]A_1, \dots, A_n[/$] paarweise disjunkte Ereignisse mit [$]A_1 \cup \dots \cup A_n = \Omega[/$] und [$]\Pr[A_1], \dots, \Pr[A_n] > 0[/$].
Wie können wir den Erwartungswert von X anders berechnen? (Law of total expectation)
Back: [$$]\mathbb{E}[X] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{E}[X | A_i] \cdot \Pr[A_i][/$$]

Front: Was muss für [$]\Pr[X] = \sum_{i = 1}^n \Pr[X | A_i] \cdot \Pr[A_i][/$] gelten
Back: 1. [$]A_1, \dots, A_n[/$] müssen paarweise disjunkte Ereignisse mit
2. [$]A_1 \cup \dots \cup A_n = \Omega[/$] und
3. [$]\Pr[A_1], \dots, \Pr[A_n] > 0[/$]

Front: Wie haben wir die Varianz für eine Zufallsvariable X definiert?
Back: Sei [$]\mu = \mathbb{E}[X][/$].
[$$]\text{Var}[X] := \mathbb{E}[(X - \mu)^2] = \sum_{x \in W_X} (x-\mu)^2 \cdot \Pr[X = x][/$$]
bzw.
[$$]\text{Var}[X] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2[/$$]

Front: Was ist die Standardabweichung von X?
Back: [$$]\sigma := \sqrt{\text{Var}[X]}[/$$]

Front: Wie kann man [$]\text{Var}[a \cdot X + b][/$] vereinfachen?
Back: [$$]a^2 \cdot \text{Var}[X][/$$]

Front: Definiere den k-ten Moment
Back: [$$]\mathbb{E}[X^k][/$$]

Front: Definiere den k-ten zentralen Moment
Back: [$$]\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^k][/$$]

Front: Seien X und Y Zufallsvariablen. Wie ist die gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen X und Y definiert?
Back: [$$]f_X,Y(x, y) := \Pr[X = x, Y = y] = \Pr[\{ \omega \in \Omega : X(\omega) = x \land Y(\omega) = y\}][/$$]

Front: Wie sind die Randdichten für [$]f_X,Y(x, y[/$] definiert?
Back: [$]f_X(x) = \sum_{y \in W_y} f_{X,Y}(x, y)[/$] und für Y analog.

Front: Wie ist die gemeinsame Verteilung für [$]f_X,Y(x, y[/$] definiert?
Back: [$$]F_{X,Y}(x, y) = \Pr[X \leq x, Y \leq y] = \Pr[\{ \omega : X(\omega) \leq x \land Y(\omega) \leq y\}][/$$]

Front: Wie sind die Randverteilungen für [$]f_X,Y(x, y[/$] definiert?
Back: [$]F_X(x) = \sum_{x' \leq x} f_X(x')[/$] für Y analog.

Front: Wann heißen Zufallsvariablen [$]X_1, \dots, X_n[/$] unabhängig?
Back: Wenn für alle [$](x_1, \dots, x_n) \in W_{X_1} \times \dots \times W_{X_n}[/$] gilt:
[$$]\Pr[X_1 = x_1, \dots, X_n = x_n] = \Pr[X_1 = x_1] \cdot \ \dots \ \cdot \Pr[X_n = x_n][/$$]

Front: Wenn zwei Zufallsvariablen [$]X_1, \dots, X_n[/$] unabhängig sind, was gilt dann für die gemeinsame Dichte?
Back: [$$]f_{X_1, \dots, X_n}(x_1, \dots, x_n) = f_{X_1}(x_1) \cdot \ \dots \ \cdot f_{X_n}(x_n)[/$$]

Front: Wenn zwei Zufallsvariablen [$]X_1, \dots, X_n[/$] unabhängig sind, was gilt dann für die gemeinsame Verteilung?
Back: [$$]F_{X_1, \dots, X_n}(x_1, \dots, x_n) = F_{X_1}(x_1) \cdot \ \dots \ \cdot F_{X_n}(x_n)[/$$]

Front: Wie kann man [$]\Pr[X_1 \in S_1, \dots, X_n \in S_n][/$] umschreiben, wenn [$]X_1, \dots, X_n[/$] unabhängig und [$]S_i \subseteq W_{X_i}[/$]
Back: [$]\Pr[X_1 \in S_1] \cdot \ \dots \ \cdot \Pr[X_n \in S_n][/$]

Front: Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen. Wie kann die Dichte von Z = X + Y berechnet werden?
Back: Mit einer Faltung: [$$]f_z(z) = \sum_{x \in W_X} f_X(x) \cdot f_Y(z-x)[/$$]

Front: Wie können wir den Erwartungswert von [$]X := a_1X_1 + \dots + a_nX_n[/$] mit [$]a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}[/$] zerlegen (Ausnutzung der Linearität)?
Back: [$$]\mathbb{E}[X] = a_1 \mathbb{E}[X_1] + \dots + a_n \mathbb{E}[X_n][/$$]

Front: Was versteht man unter der Multiplikativität des Erwartungswerts?
Back: Für unabhängige Zufallsvariablen gilt [$$]\mathbb{E}[X_1 \cdot \dots \cdot X_n] = \mathbb{E}[X_1] \cdot \dots \cdot \mathbb{E}[X_n][/$$]

Front: Welche Eigenschaft müssen die Zufallsvariablen erfüllen, damit [$$]\mathbb{E}[X_1 \cdot \dots \cdot X_n] = \mathbb{E}[X_1] \cdot \dots \cdot \mathbb{E}[X_n][/$$] gilt?
Back: Die Zufallsvariablen müssen unabhängig sein.

Front: Wie haben wir Indikatorvariablen für ein Ereignis A definiert?
Back: [$$]I_A := \begin{cases} 1 & \text{falls } A \text{ eintritt}, \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}[/$$]

Front: Was ist [$]\mathbb{E}[I_A][/$] für Indikatorvariable [$]I_A[/$]?
Back: [$$]\mathbb{E}[I_A] = 1 \cdot \Pr[A] + 0 \cdot \Pr[\bar{A}] = \Pr[A][/$$]

Front: Was ist [$]\mathbb{E}[I_{A_1} \cdot \ \dots \ \cdot I_{A_n}][/$] für Indikatorvariablen?
Back: [$$]\mathbb{E}[I_{A_1} \cdot \ \dots \ \cdot I_{A_n}] = \Pr[A_1 \cap \dots \cap A_n][/$$]
da das Produkt von Indikatorvariablen genau dann gleich 1 ist, wenn alle entsprechenden Ereignisse eintreten.

Front: Wie können wir die Varianz von [$]X := X_1 + \dots + X_n[/$] zerlegen?
Back: Wenn [$]X_1, \dots, X_n[/$] unabhängig, dann
[$$]\text{Var}[X] = \text{Var}[X_1] + \dots + \text{Var}[X_n][/$$]