Title: IN0018_DWT / DWT: Grundlagen
On every note of this deck, unless a note says otherwise:
Title: IN0018_DWT::DWT: Grundlagen
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Front: Was ist der Additionssatz für eine endliche Menge von Ereignissen?
Back: Seien [$]A_1, \dots, A_n[/$] paarweise disjunkt. Dann gilt:
[$$]\Pr \left [ \bigcup_{i = 1}^n A_i \right ] = \sum_{i = 1}^n \Pr[A_i][/$$]

Front: Was ist der Additionssatz für eine abzählbar unendliche Menge von Ereignissen?
Back: [$$]\Pr \left [ \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \right ] = \sum_{i = 1}^\infty \Pr[A_i][/$$]

Front: Seien A und B Ereignisse und [$]A \subseteq B[/$]. Was gilt dann für [$]Pr[A][/$] und [$]Pr[B][/$]?
Back: [$$]A \subseteq B \implies \Pr[A] \leq \Pr[B][/$$]

Front: Seien A und B Ereignisse und [$]\Pr[A \cup B][/$]. Wende die Siebformel an.
Back: [$$]\Pr[A \cup B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A \cap B][/$$]

Front: Seien A, B und C Ereignisse und [$]\Pr[A \cup B \cup C][/$]. Wende die Siebformel an.
Back: [$$]\Pr[A \cup B \cup C] = \Pr[A] + \Pr[B] + \Pr[C] - \Pr[A \cap B] - \Pr[A \cap C] -\Pr[B \cap C] + \Pr[A \cap B \cap C][/$$]

Front: Was ist die boolesche Ungleichung für eine endliche Menge von Ereignissen?
Back: [$$]\Pr \left[ \bigcup_{i = 1}^n A_i \right] \leq \sum_{i = 1}^n \Pr[A_i][/$$]

Front: Was ist die boolesche Ungleichung für eine abzählbar unendliche Menge von Ereignissen?
Back: [$$]\Pr \left[ \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \right] \leq \sum_{i = 1}^\infty \Pr[A_i][/$$]

Front: Was sagt das Prinzip von Laplace aus?
Back: Wenn nichts dagegen spricht, gehen wir davon aus, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Also:
[$$]\Pr[E] = \frac{|E|}{|\Omega|}[/$$]

Front: Was sind für [$]\Pr[A|B][/$] erforderliche Eigenschaften:
Back: 1. [$]\Pr[B | B] = 1[/$]
2. [$]\Pr[A | \Omega] = \Pr[A][/$]
3. für festes B ist [$]\Pr[A | B][/$] proportional zu [$]\Pr[A \cap B][/$]

Front: Wie ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert?
Back: Seien A und B Ereignisse mit [$]\Pr[B] > 0[/$].
[$$]\Pr[A | B] := \frac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[B]}[/$$]

Front: Angenommen wir kennen [$]/Pr[A | B][/$]. Wie können wir [$]\Pr[\bar{A} | B][/$] umschreiben?
Back: [$$]\Pr[\hat{A} | B] = 1 - \Pr[A | B][/$$]

Front: Was ist [$]\Pr[\emptyset | B][/$]?
Back: [$$]\Pr[\emptyset ] B] = 0[/$$]

Front: Definiere den Multiplikationssatz.
Back: Seien [$]A_1, \dots, A_n[/$] Ereignisse. Falls [$]\Pr[A_1 \cap \dots \cap A_n] > 0[/$], dann
[$$]\Pr[A_1 \cap \dots \cap A_n] = \Pr[A_1] \cdot \Pr[A_2 | A_1] \cdot \Pr[A_3 | A_1 \cap A_2] \cdot \ \dots \ \cdot \Pr[A_n | A_1 \cap \dots \cap A_{n - 1}][/$$]

Front: Seien [$]A_1, \dots, A_n[/$] Ereignisse. Wir wollen den Multiplikationssatz anwenden. Welche Bedingung muss für die Ereignisse gelten?
Back: [$$]\Pr[A_1 \cap \dots \cap A_n] > 0[/$$]

Front: Definiere den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit für eine endliche Menge an Ereignissen.
Back: Ereignisse [$]A_1, \dots, A_n[/$] seien paarweise disjunkt und es gelte [$]B \subseteq A_1 \cup \dots \cup A_n[/$]. Dann:
[$$]\Pr[B] = \sum_{i = 1}^n \Pr[B | A_i] \cdot \Pr[A_i][/$$]

Front: Definiere den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit für eine abzählbar unendliche Menge an Ereignissen.
Back: Ereignisse [$]A_1, \dots, A_n[/$] seien paarweise disjunkt und es gelte [$]B \subseteq \bigcup_{i = 1}^\infty[/$]. Dann:
[$$]\Pr[B] = \sum_{i = 1}^\infty \Pr[B | A_i] \cdot \Pr[A_i][/$$]

Front: Seien [$]A_1, \dots, A_n[/$] und B Ereignisse. Welche Bedingungen müssen gelten, damit der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit angewendet werden kann?
Back: - Paarweise Disjunkt
- [$]B \subseteq A_1 \cup \dots \cup A_n[/$]

Front: Seien [$]A_1, A_2, \dots[/$] und B Ereignisse. Welche Bedingungen müssen gelten, damit der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit angewendet werden kann?
Back: - Paarweise Disjunkt
- [$]B \subseteq \bigcup_{i = 1}^\infty A_i[/$]

Front: Wann heißen Ereignisse A und B unabhängig?
Back: [$$]\Pr[A \cap B] = \Pr[A] \cdot \Pr[B][/$$]

Front: Wie können wir [$$]\Pr[A \cap B] = \Pr[A] \cdot \Pr[B][/$$] umschreiben, wenn zusätzlich [$]\Pr[B] \neq 0[/$] gilt?
Back: [$$]\Pr[A] = \frac{\Pr[A \cap B]}{\Pr[B]} = \Pr[A | B][/$$]

Front: Wann heißen paarweise verschiedene Ereignisse [$]A_1, \dots, A_n[/$] unabhängig?
Back: Wenn für alle Teilmengen [$]I = \{ i_1, \dots, i_k \} \subseteq \{ 1, \dots, n\}[/$] mit [$]i_1 < i_2 < \dots < i_k[/$] gilt, dass
[$$]\Pr[A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}] = \Pr[A_{i_1}] \cdot \ \dots \ \cdot \Pr[A_{i_k}][/$$]

Front: Welche verallgemeinerte Version von Unabhängigkeit haben wir für paarweise verschiedene Ereignisse [$]A_1, \dots, A_n[/$] kennengelernt? (Bitvektoren)
Back: Unabhängig, wenn für alle [$](s_1, \dots, s_n) \in \{ 0, 1\}^n[/$] gilt, dass
[$$]\Pr[A_1^{s_1} \cap \dots \cap A_n^{s_n}] = \Pr[A_1^{s_1}] \cdot \ \dots \ \cdot \Pr[A_n^{s_n}][/$$]
wobei [$]A_i^0 = \bar{A}_i[/$] und [$]A_i^1 = A_i[/$].

Front: Wenn A und B unabhängig, sind dann auch ¬A und B unabhängig?
Back: Ja (Siehe "Bitvektor Unabhängigkeitslemma").
Wenn A und B unabhängig, dann:
- ¬A und B unabhängig
- A und ¬B unabhängig
- ¬A und ¬B unabhängig

Front: Seien A, B und C unabhängige Ereignisse. Welche Aussagen über Schnitt und Vereinigung können gemacht werden?
Back: [$]A \cap B[$] und C bzw [$]A \cup B[/$] und C unabhängig.