Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 11

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Rechenregeln für Stetigkeit [HMiR]
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Sind $f,g:D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ stetige Funktionen, so auch
\[\lambda f+\mu g,\quad f g,\quad f/g,\quad f\circ g,\]
wobei, $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ reelle Zahlen sind und beim Quotienten $f/g$ vorausgesetzt wird, dass $g(x)\neq 0$ ist für alle $x\in D$.
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Thm.: Sätze zu stetigen Funktionen [HMiR]
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Gegeben sind ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall $D=[a,b]\subseteq\mathbb{R}$ und eine stetige Funktion $f:[a,b]\to\mathbb{R}$. Dann ist auch $f([a,b])$ ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall, und es gilt:
\begin{enumerate}
\item \emph{Satz vom Maximum und Minimum}: Es gibt Stellen $x_\text{max},x_\text{min}\in[a,b]$ mit
\[f_\text{min}=f(x_\text{min})\leq f(x)\leq f(x_\text{max})=f_\text{max}\forall x\in[a,b].\]
Man nennt $x_\text{min}$ \emph{Minimalstelle} und $x_\text{max}$ \emph{Maximalstelle}.
\item \emph{Zwischenwertsatz}: Zu jedem $y\in[f_\text{min},f_\text{max}]$ gibt es ein $x^\ast\in[a,b]$ mit $f(x^\ast)=y$.
\item \emph{Nullstellensatz}: Ist $f(a)<0$ und $f(b)>0$ (oder umgekehrt), so gibt es ein $x^\ast\in[a,b]$ mit $f(x^\ast)=0$.
\item \emph{Fixpunktsatz}: Ist $f:[a,b]\to[a,b]$ stetig, so existiert ein $x^\ast\in[a,b]$ mit $f(x^\ast)=x^\ast$.
\end{enumerate}
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