Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 03
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Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 03

Front: [latex]%
Def.: Beschränkte und unbeschränkte Mengen [HMiR]
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Back: [latex]%
Eine Teilmenge $M\subseteq\mathbb{R}$ heißt \emph{nach unten beschränkt}, falls es ein $a\in\mathbb{R}$ gibt mit $a\leq x$ für alle $x\in M$, und \emph{nach oben beschränkt}, falls es ein $b\in\mathbb{R}$ gibt mit $x\leq b$ für alle $x\in M$. Die Menge $M$ heißt \emph{beschränkt}, falls sie nach unten und nach oben beschränkt ist.
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Front: [latex]%
Def.: Supremum und Infimum [HMiR]
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Back: [latex]%
\begin{itemize}
\item Jede nach oben beschränkte nichtleere Menge $M\subseteq\mathbb{R}$ hat eine kleinste obere Schranke
\[\sup(M)\quad\text{-- das \emph{Supremum} von $M$.}\]
\item Jede nach unten beschränkte nichtleere Menge $M\subseteq\mathbb{R}$ hat eine größte untere Schranke
\[\inf(M)\quad\text{-- das \emph{Infimum} von $M$.}\]
\end{itemize}
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Front: [latex]%
Rechenregeln für das Supremum
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Back: [latex]%
\begin{enumerate}
\item $\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$ für $A+B=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$.
\item Falls $\lambda\geq 0$, so gilt $\sup(\lambda A)=\lambda\sup(A)$ für $\lambda A=\{\lambda\cdot a\mid a\in A\}$.
\item Sind $A,B\subseteq[0,\infty)$, so gilt $\sup(A\cdot B)=\sup(A)\cdot\sup(B)$ für $A\cdot B=\{a\cdot b\mid a\in A,b\in B\}$.
\item Falls $A\subseteq B$, so gilt $\sup(A)\leq\sup(B)$.
\end{enumerate}
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Front: [latex]%
Def.: Vollständige Körper
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Back: [latex]%
Ein (an)geordneter Körper heißt \emph{vollständig}, falls jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt.
\textit{Die Menge $\mathbb{R}$ ist vollständig.}
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Front: [latex]%
Def.: Offene und abgeschlossene Mengen
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Back: [latex]%
Eine Menge $A\subset\mathbb{R}$ heißt \emph{offen}, falls für jedes $x\in A$ eine Umgebung\marginnote{Ein offenes Interval $(a,b)$ heißt \emph{Umgebung} von $x\in\mathbb{R}$, falls $x\in(a,b)$.
} $I_x$ von $x$ existiert, sodass $I_x\subseteq A$.
Eine Menge heißt \emph{abgeschlossen}, falls $\mathbb{R}\setminus A$ offen ist.
\textit{Eine Menge kann weder offen noch abgeschlossen sein, z.B. $[a,b)$.}
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Front: [latex]%
Thm.: Offen- und Abgeschlossenheit
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Back: [latex]%
Falls $A$ gleichzeitig offen und abgeschlossen ist, dann ist $A=\emptyset$ oder $A=\mathbb{R}$.
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Front: [latex]%
Thm.: Zerlegbarkeit offener Mengen
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Back: [latex]%
Jede offene Menge ist die abzählbare Vereinigung disjunkter offener Intervalle. Für abgeschlossene Mengen gilt dies nicht.
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Front: [latex]%
Def.: Vektorraum $\mathbb{R}^n$
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Back: [latex]%
Wir definieren
\[\mathbb{R}^n := \{(x_1, \dots, x_n) : x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}\},\]
mit den Operationen
\[(x_1,\dots,x_n)+(y_1,\dots,y_n)\coloneq (x_1+y_1,\dots,x_n+y_n),\]
und für $\gamma \in \mathbb{R}$
\[\gamma \cdot (x_1, \dots, x_n) = (\gamma \cdot x_1, \dots, \gamma \cdot x_n),\]
und dem Skalarprodukt
\[(x_1,\dots,x_n)\cdot (y_1,\dots,y_n)=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k.\]
Das Skalarprodukt wird auch $\langle x, y \rangle$ geschrieben.
Wir definieren die Euklidische Norm
\[\|(x_1, \dots, x_n)\|\coloneqq\sqrt{(x_1,\dots,x_n)\cdot (x_1,\dots,x_n)}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_k^2}.\]
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Front: [latex]Satz von Cantor Bernstein? [/latex]
Back: [latex]% Falls Injektionen von A nach B und von B nach A existieren, dann existiert auch eine Bijektion zwischen A und B[/latex]
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