Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 17
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Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 17

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Def.: punktweise Konvergenz von Funktionsfolgen
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Eine Funktionsfolge\marginnote{In der VL wurde die Konvergenz für Reihen von Funktionsfolgen definiert. Eine Reihe ist jedoch auch eine Folge von Partialsummen.} $(f_n:I\to\mathbb{R})_{n\in\mathbb{N}}$ \emph{konvergiert punktweise} gegen $f:I\to\mathbb{R}$, falls gilt
\[\forall_{x\in I}\,\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f.\]
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Def.: gleichmäßige Konvergenz von Funktionsfolgen
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Man spricht von \emph{gleichmäßiger Konvergenz}, falls gilt
\[\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.\]
Gleichmäßige Konvergenz schließt punktweise Konvergenz ein.
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Bsp.: Punkteweise konvergente aber nicht gleichmäßig konvergente Funktion
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Sei $D=(1,0)$, $f_n(x)=x^n$ und $f(x)=0$. Dann konvergiert $f_n$ punktweise gegen $f$, weil $\forall x\in D:f_n(x)=x^n\to 0=f(x)$.
Allerdings konvergiert $f_n$ nicht gleichmäßig gegen $f$: Sei $\epsilon=0.5$, dann muss gezeigt werden, dass es für alle $N$ ein $x\in D$ gibt, sodass $|f_n(x)-f(x)|>\epsilon$. Ein solches $x$ ist $x=0.5^{1/(n+1)}$, denn
\[|f_N(x)-f(x)|=x^N-0=x^N=\left(0.5^\frac{1}{N+1}\right)^N=0.5^\frac{N}{N+1}>0.5=\epsilon.\]
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Thm.: Differenzierbarkeit von Funktionsreihen
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Sei $I\in\mathbb{R}$ und $I$ offen. Wenn für die differenzierbaren Funktionen $f_k\in I \to\mathbb{R}$ die Reihe $\sum_{k=0}^\infty f_k(x)$ punktweise und die Reihe $\sum_{k=0}^\infty f_k'(x)$ gleichmäßig konvergiert, so ist $f$ in $I$ differenzierbar und es gilt
\[\forall_{x\in I}\,f'(x)=\ sum_{k=0}^\infty f_k'(x)\]
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Thm.: Satz von Rolle
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Sei $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar in $(a,b)$. Falls $f(a)=f(b)$, so gibt es ein $z\in(a,b)$ mit $f'(z)=0$.
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