Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 07

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Konvergenz- und Divergenzkriterien [HMiR]
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Gegeben ist eine Reihe $\sum_{k=0}^\infty$.
Das \emph{Nullfolgenkriterium}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ divergiert, falls $(a_k)_k$ keine Nullfolge ist.
Das \emph{Leibnitzkriterium}: Die alternierende Reihe $\sum_{k=0}^\ infty(-a)^ka_k$ konvergiert, falls $(a_k)_k$ eine monoton fallende Nullfolge ist (das impliziert $a_k\geq 0$). Für den Wert $S$ der Reihe gilt die Abschätzung
$ \left|S-\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k\right|\leq a_{n+1} $
Das \emph{Majorantenkriterium}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ konvergiert absolut, falls es eine \emph{konvergente Majorante} gibt, d.h.
$\exists \text{konvergente Reihe $\sum_{k=0}^\infty b_k$}:$
Das \emph{Minorantenkritierum}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ divergiert, falls es eine \emph{divergente Minorante} gibt, d.h.
$\ exists\text{divergente Reihe $\sum_{k=0}^\infty b_k$}:0\leq b_k\leq a_k\ ;\forall k\geq N\in\mathbb{N}.$
Das \emph{Quotientenkriterium}: Existiert $r=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$, so gilt:
$ \ begin{cases*} r<1 & konvergiert die Reihe absolut. \\ r>1 & divergiert die Reihe. \\ r=1 & ist alles möglich. \end{cases*} $ [/latex]
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Cauchy-Kriterium für Reihen [/latex]
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Die Reihe $\sum a_n$ konvergiert genau dann, wenn für jedes $\epsilon$ ein $N$ existiert, so dass für alle $m,n$ mit $m>n>N$ gilt: \[\left|\sum_{k=n+1}^{m}a_k\right|<\epsilon.\] [/latex]
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