Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 02
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Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 02

Front: [latex]%
Def.: (An)geordnete Körper
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Back: [latex]%
Ein Körper $(F,+,\cdot)$ ist eine Menge $F$ mit zwei Operationen $+$ und $\cdot$, sodass
\begin{enumerate}
\item $\forall_{x,y,z\in F}\,(x+y)+z=x+(y+z)$,
\item $\forall_{x,y\in F}\,x+y=y+x$,
\item $\exists_{0\in F}\,x+0=x$,
\item $\forall_{x\in F}\,\exists_{y\in F}x+y=0$
\item $\forall_{x,y,z\in F}\,(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$,
\item $\forall_{x,y\in F}\,x\cdot y=y\cdot x$,
\item $\exists_{1\in F}\forall_{x\in F}\,x\cdot 1=x$,
\item $\forall_{0\neq x\in F}\exists_{y\in F}\,x\cdot y=1$ und
\item $\forall_{x,y,z\in F}\,x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.
\end{enumerate}
Ein Körper heißt (an)geordnet, falls es eine Relation $<$ gibt, sodass
\begin{enumerate}
\item für jedes $x\in F$ genau eins von folgenden gilt:
\begin{itemize}
\item $x>0$,
\item $x<0$ oder
\item $x=0$;
\end{itemize}
\item $\forall_{x,y\in F}\,x,y>0\implies x+y,x\cdot y>0$ und
\item $\forall_{x,y\in F}\,x>y\iff x-y>0$.
\end{enumerate}
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Front: [latex]%
Def.: Folgen
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Back: [latex]%
Sei $M$ eine Menge (z.B. $M=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{R}^n$). Eine \emph{Folge} mit Werten in $M$ ist eine Abbildung $\mathbb{N}\to M$ (oder $\mathbb{N}\to M$). Wir schreiben $x_1,x_2,x_3\dots$ oder $x_0,x_1,x_2\dots$.
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Other fields (not shown on cards):
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Front: [latex]%
Def.: Abzählbarkeit
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Back: [latex]%
Eine Menge $M$ is abzählbar, wenn eine surjektive Abbildung $\mathbb{N}\to M$ existiert.
% TODO Die Ganzen Zahlen sind abzählbar
% TODO Die Rationalen Zahlen sind abzählbar
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Front: [latex]%
Bsp.: Kantors Diagonale
[/latex]
Back: [latex]%
Es soll gezeigt werden, dass $\mathbb{R}$ überabzählbar ist, also $|\mathbb{R}| > \aleph_0$.
\textbf{Beweis}. Wir nehmen an, es gibt eine Abzählung der Zahlen in $[0;1]$ als Folge $x_1,x_2,x_3,\dots$ mit
\begin{align*}
x_1 & = 0.d_{11}d_{12}d_{13}\dots \\
x_2 & = 0.d_{21}d_{22}d_{23}\dots \\
x_3 & = 0.d_{31}d_{32}d_{33}\dots
\end{align*}
und definieren eine reelle Zahl
\[x = 0.d_{1}d_{2}d_{3}\dots\]
in dem wir $d_k$ auf $2$ setzen falls $d_{kk} = 1$, und andernfalls auf $1$.
Das führt zu dem Widerspruch $x \neq x_k$ $\forall k$.
%TODO Automatically generated
% \begin{figure}[H]
% \centering
% \includegraphics[width=0.8\textwidth]{lec_02_1697720358}
% \end{figure}
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Front: Def.: injektiv, surjektiv, bijektiv
Back: [latex] Eine Funktion $ f: A \\to B $ ist injektiv, wenn für alle $ x_1, x_2 $ in der Definitionsmenge $ A $ gilt: $ f(x_1) = f(x_2) \\implies x_1 = x_2 $
Eine Funktion $ f: A \\to B $ ist surjektiv, wenn für jedes Element $y$ in der Zielmenge $B$ mindestens ein Element $x$ in der Definitionsmenge $A$ existiert, so dass $f(x) = y$
Eine Funktion ist bijektiv wenn sie surjektiv und injektiv ist [/latex]
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