Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 06
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Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 06

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Def.: Limes Superior und Limes Inferior
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Sei $(x_n)$ eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Sei $\overline{x_n}=\sup_{k\geq n}x_k$ und $\underline{x_n}=\inf_{k\geq n}x_k$. Da $(\overline{x_n})$ monoton fallend bzw. $(\underline{x_n})$ monoton wachsend ist, existiert der Grenzwert $\limsup_{n\to\infty}x_n\coloneq\lim_{x\to\infty}\overline{x_n}$ bzw. $\liminf_{n\to\infty}x_n\coloneq\lim_{x\to\infty}\underline{x_n}$ (siehe Kriterium für Konvergenz), den wir als \emph{Limes superior} bzw. \emph{Limes inferior} von $(x_n)$ bezeichnen. Aus $\underline{x_n}\leq\overline{x_n}$ folgt:
\[\liminf_{n\to\infty}x_n\leq\limsup_{n\to\infty}x_n.\]
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Def.: Häufungspunkte von Folgen
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Ist $(x_n)$ eine reellwertige Folge und $\forall k:n_1<n_2<n_3<n_4\dots,n_k\in\mathbb{N}$, so heißt $(x_{n_k})$ \emph{Teilfolge} von $(x_n)$. $x$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $(x_n)$, falls es eine Teilfolge $(x_{n_k})$ gibt mit $\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x$.
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Thm.: Satz von Bolzano-Weierstrass
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Gegeben sei eine beschränkte reellwertige Folge $(x_n)$. Dann sind Limes superior und Limes inferior maximaler bzw. minimaler Häufungspunkt der Folge $(x_n)$. Weiter gilt:
\[x_n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}x\iff\liminf_{n\to\infty}x_n=\limsup_{n\to\infty}x_n=x\]
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Def.: Reihen
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Einer Folge $(a_n)$ komplexer Zahlen ordnen wir die Folge
\[s_n=a_0+a_1+\dots+a_n=\sum_{k=0}^na_k\]
zu und bezeichnen sie als \emph{unendliche Reihe}, kurz \emph{Reihe}, mit den Gliedern $a_n$ und den Partialsummen $s_n$.
% Falls die Partialsummen $s_n$ konvergieren, d.h. $s_n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}s$, so heißt die Reihe konvergent und der Grenzwert $s$ heißt \emph{Summe} oder \emph{Wert} der Reihe. Wir schreiben $s=\lim_{n\to\infty}s_n\coloneq\sum_{k=0}^\infty a_k$. Sind die Glieder reell und geht die Folge $(s_n)$ gegen $+\infty$ (bzw. $-\infty$) so schreiben wir $\sum_{k=0}^\infty a_k=+\infty$ (bzw. $\sum_{k=0}^\infty a_k=-\infty$).
% Eine nicht konvergierende Reihe heißt \emph{divergent}.
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Def.: Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen [HMiR]
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Gegeben ist eine Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$. Man sagt, die Reihe
\begin{itemize}
\item \emph{konvergiert gegen ein $a\in\mathbb{R}$}, wenn die Folge $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(\sum_{k=0}^na_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$ der Partialsummen gegen $a$ konvergiert.
Man nennt $a$ in diesem Fall den \emph{Wert der Reihe} und bezeichnet diesen ebenfalls mit $\sum_{k=0}^\infty a_k$.
\item \emph{konvergiert absolut}, wenn die Folge $(t_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(\sum_{k=0}^n|a_k|\right)_{n\in\mathbb{N}}$ der Beträge der Reihenglieder konvergiert.
\end{itemize}
Jede absolut konvergente Reihe konvergiert auch.
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