Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 10
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Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 10

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Regeln für absolute konvergente Reihen
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Es seien $\sum_{k=0}^\infty a_k$ und $\sum_{k=0}^\infty b_k$ absolut konvergente Reihen.
\begin{itemize}
\item Es gilt die Dreiecksungleichung:
\[\left|\sum_{k=0}^\infty a_k\right|\leq\sum_{k=0}^\infty|a_k|.\]
\item Beliebige Umordnungen der Summation liefern denselben Reihenwert.
\item Das \emph{Cauchyprodukt}: Wir definieren das Cauchyprodukt
\[\sum_{k=0}^\infty c_k\quad\text{mit}\quad c_k=\sum_{l=0}^ka_lb_{k-l}\]
der Reihen $\sum_{k=0}^\infty$ und $\sum_{k=0}^\infty b_k$. Sind diese absolut konvergent, so konvergiert ihr Cauchyprodukt $\sum_{k=0}^\infty c_k$, und es gilt
\[\sum_{k=0}^\infty c_k=\sum_{k=0}^\infty a_k\sum_{k=0}^\infty b_k.\]
\end{itemize}
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Def.: Isolierte Punkte
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Sei $D\subseteq\mathbb{R}$ und $x_0\in D$. $x_0$ heißt isoliert in $D$, falls es keine Folge $(a_n)$ gibt, sodass $\lim_{n\to\infty} a_n=x_0$ und für jedes $n$, $a_n\in D\setminus\{x_0\}$.
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Def.: Grenzwert einer Funktion
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Gegeben sei die Funktion $f:D\to\mathbb{R}$ und $x_0\in D$. Der Wert $a$ heißt \emph{Grenzwert von $f$} in $x_0$, falls $x_0$ nicht isoliert ist und jede gegen $x_0$ konvergierende Folge $(a_n)$ in $D\setminus\{x_0\}$ den Grenzwert $\lim_{n\to\infty}f(a_n)=a$ erfüllt.
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Def.: Grenzwerts einer Funktion (Alternative Definition)
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Gegeben sei die Funktion $f:D\to\mathbb{R}$ und $x_0\in D$. Der Wert $a$ heißt Grenzwert von $f$ in $x_0$, falls $x_0$ nicht isoliert ist und für jedes $\epsilon>0$ ein $\delta>0$ existiert, sodass für jedes $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap(D\setminus\{x_0\})$ gilt:
\[|f(x)-a|<\epsilon.\]
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Def. Stetige Funktionen (folge)
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Eine Funktion $f:D\to\mathbb{R}$ heißt stetig in einem Punkt $x_0\in D$, falls $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ oder $x_0$ isoliert ist. Die Funktion $f$ heißt stetig in $D$, falls $f$ stetig in $x\,\forall x\in D$ ist.
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