Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 23

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Uneigentliche Integrale [HMiR]
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\begin{itemize}
\item \textbf{Unbeschränkte Intervalle:} Für $a,b\in\mathbb{R}$ und $f:[a,\infty)\to\mathbb{R}$ bzw. $f:(-\infty,b]\to\mathbb{R}$ bzw. $f:(-\infty,\infty)\to\mathbb{R}$ setze (falls die jeweiligen Grenzwerte existieren):
\begin{itemize}
\item $\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^bf(x)\,dx$,
\item $\displaystyle\int_{-\infty}^bf(x)=\lim_{a\to-\infty}\int_a^bf(x)\,dx$,
\item $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\int_{-\infty}^cf(x)\,dx+\int_c^\infty f(x)\,dx$ mit $c\in\mathbb{R}$.
\item $\displaystyle\text{CHW}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^af(x)\,dx$ nennt man den \emph{Cauchyhauptwert} von $f$, falls dieser Grenzwert existiert.
\end{itemize}
\item \textbf{Unbeschränkte Funktion:} Für $a,b\in\mathbb{R}$ und $f:[a,c)\to\mathbb{R}$ bzw. $f:(c,b]\to\mathbb{R}$ setze (falls die jeweiligen Grenzwerte existieren):
\begin{itemize}
\item $\displaystyle\int_a^cf(x)\,dx=\lim_{b\to c^-}\int_a^bf(x)\,dx$,
\item $\displaystyle\int_c^bf(x)\,dx=\lim_{a\to c^+}\int_a^bf(x)\,dx$.
\end{itemize}
\end{itemize}
Falls der jeweilige Grenzwert existiert und endlich ist, so sagt man, dass das uneigentliche Integral existiert bzw. konvergiert, ansonsten nennt man es nicht existent oder divergent.
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Sei $(f_n)$ eine Funktionsfolge, die gleichmäßig gegen $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ konvergiert. Wann ist f(x) Integrierbar?
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Sei $(f_n)$ eine Funktionsfolge, die gleichmäßig gegen $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ konvergiert und deren Glieder $f_n$ auf $[a,b]$ integierbar sind. Dann ist auch $f$ integrierbar und es gilt:
\[\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\,dx=\int_a^bf(x),\,dx.\]
\textit{Uneigentliche Integrale müssen gesondert behandelt werden.}
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Bsp. Punktweise Konvergenz von Funktionsfolgen ist nicht ausreichen für Integrierbarkeit
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Für eine Funktionsfolge $(f_n)$ ist ein Glied $f_n:[0,1]\to\mathbb{R}$ definiert durch
\[f_n(x)=\begin{cases}\marginnote{Bei der Definition von den Gliedern $f_n$ wurde ein Abschnitt weggelassen.} 2n^2x & 0<x\leq\frac{1}{n} \\ 0 & x >\frac{1}{n}. \end{cases}\]
Dann sind alle $f_n$ stetig und $\forall x:\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$ d.h. $(f_n)$ konvergiert punktweise gegen $f(x)=0\,\forall x\in[0,1]$. Jedoch gilt
\[\forall n:\int_0^1f_n(x)\,dx=1\quad\text{und}\quad\int_0^1f(x)\,dx=0.\]
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Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale [HMiR]\marginnote{Nicht explizit in der VL erwähnt, jedoch in folgender Form thematisiert: Ist eine Funktionsfolge $(f_n)$ punktweise konvergent gegen $f$ und es gilt das Majorantenkriterium, so ist gilt \[\int_Df\,dx=\lim_{n\to\infty}\int_Df_n\,dx.\]}
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Sind $f,g:[a,\infty)\to\mathbb{R}$ Funktionen, die auf jedem beschränkten Intervall $[a,b]$ integrierbar sind, so gilt: Ist $|f(x)|\leq |g(x)|$ für alle $x\in[a,\infty)$ und existiert $\int_a^\infty g(x)\,dx$, so existiert auch das uneigentliche Integral
\[\int_a^\infty f(x)\,dx.\]
Das Kriterium gilt analog für Funktionen $f,g:(-\infty,b]\to\mathbb{R}$.
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