Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 04
On every note of this deck, unless a note says otherwise:
Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 04

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Eigenschaften des Skalarproduktes
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\begin{enumerate}
\item $\forall_{\overline{x},\overline{y}\in\mathbb{R}^n,\alpha\in\mathbb{R}}\,(\alpha\overline{x})\cdot\overline{y}=\overline{x}\cdot(\alpha\overline{y})=\alpha(\overline{x}\cdot\overline{y})$
\item $\forall_{\overline{x},\overline{y},\overline{z}\in\mathbb{R}^n}\,(\overline{x}+\overline{y})\cdot\overline{z}=\overline{x}\cdot\overline{z}+\overline{y}\cdot\overline{z}$
\item $\forall_{\overline{x},\overline{y}\in\mathbb{R}^n}\,\overline{x}\cdot\overline{y}=\overline{y}\cdot\overline{x}$
\item $\forall_{\overline{x}\in\mathbb{R}^n}\,\overline{x}\cdot\overline{x}\geq 0$ mit Gleichheit nur wenn $\overline{x}=0$
\end{enumerate}
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Thm.: Cauchy-Schwarz-Ungleichung
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Back: [latex]%
\[\forall_{\overline{x},\overline{y}\in\mathbb{R}^n}\,|\langle\overline{x},\overline{y}\rangle|\leq\lVert\overline{x}\rVert\cdot\lVert\overline{y}\rVert\]
Gleichheit gilt genau dann, wenn ein $\alpha\in\mathbb{R}$ existiert, sodass $x=\alpha y$ oder $y=\alpha x$.
\textbf{Beweis.} Wir definieren:
\[\overline{z}=\overline{x}\frac{\overline{x}\cdot\overline{y}}{\overline{x}\cdot\overline{x}}\quad\text{und}\quad\overline{w}=\overline{y}-\overline{z}.\]
Dann:
\begin{align*}
(\overline{x}\cdot\overline{x})(\overline{y}\cdot\overline{y}) & =(\overline{x}+\overline{x})\cdot((\overline{z}+\overline{w})\cdot(\overline{z}+\overline{w})) \\
& =(\overline{x}+\overline{x})\cdot(\overline{z}\cdot\overline{z}+\overline{w}\cdot\overline{w}+2\overline{z}\cdot\overline{w}) \\
& =(\overline{x}+\overline{x})\cdot(\overline{z}\cdot\overline{z}+\overline{w}\cdot\overline{w}) \\
& =\frac{(\overline{x}\cdot\overline{y})}{(\overline{x}\cdot\overline{x})}^2(\overline{x}\cdot\overline{x})+(\overline{x}\cdot\overline{x})(\overline{w}\cdot\overline{w}) \\
& \geq(\overline{x}\cdot\overline{y}).
\end{align*}
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Thm.: Dreiecksungleichung
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\[\forall_{\overline{x},\overline{y}\in\mathbb{R}^n}\,\lVert\overline{x}+\overline{y}\rVert\leq\lVert\overline{x}\rVert+\lVert\overline{y}\rVert\]
Gleichheit gilt genau dann wenn ein $\alpha\in\mathbb{R}$ existiert, sodass $x=\alpha y$ oder $y=\alpha x$.
\textbf{Beweis.} Mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
\begin{align*}
\lVert\overline{x}+\overline{y}\rVert^2 & =\lVert\overline{x}\rVert^2+2\langle\overline{x},\overline{y}\rangle+\lVert\overline{y}\rVert^2 \\
& \leq\lVert\overline{x}\rVert^2+2\lVert\overline{x}\rVert\cdot\lVert\overline{y}\rVert+\lVert\overline{y}\rVert^2 \\
& =\left(\lVert\overline{x}\rVert+\lVert\overline{y}\rVert\right)^2
\end{align*}
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Thm.: Geometrisches und arithmetisches Mittel
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Seien $x,y\geq0$. Dann gilt:
\[\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}\]
\textbf{Beweis.}
\begin{align*}
0 & \leq(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x-2\sqrt{xy}+y \\
2\sqrt{xy} & \leq x+y \\
\sqrt{xy} & \leq\frac{x+y}{2}
\end{align*}
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Def.: Beschränktheit und Monotonie für Folgen [HMiR]
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Back: [latex]%
Gegeben ist eine Folge $(a_n)_{n\in\mathbb{R}}$. Die Folge heißt
\begin{itemize}
\item \emph{nach oben beschränkt}, falls ein $K\in\mathbb{R}$ existiert mit $a_n\leq K$ für alle $n\in\mathbb{N}$,
\item \emph{nach unten beschränkt}, falls ein $K\in\mathbb{R}$ existiert mit $a_n\geq K$ für alle $n\in\mathbb{N}$,
\item \emph{beschränkt}, falls ein $K\in\mathbb{R}$ existiert mit $|a_n|\leq K$ für alle $n\in\mathbb{N}$,
\item \emph{monoton wachsend} oder \emph{steigend}, falls $a_{n+1}\geq a_n$ für alle $n\in\mathbb{N}$,
\item \emph{streng monoton wachsend}, falls $a_{n+1}>a_n$ für alle $n\in\mathbb{N}$,
\item \emph{monoton fallend}, falls $a_{n+1}\leq a_n$ für alle $n\in\mathbb{N}$,
\item \emph{streng monoton fallend}, falls $a_{n+1}<a_n$ für alle $n\in\mathbb{N}$.
\end{itemize}
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Rzp: Techniken zum Nachweisen der Beschränktheit bzw. Monotonie [HMiR]
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Back: [latex]%
\begin{itemize}
\item Sind alle Folgenglieder positiv bzw. negativ? Falls ja: Die Folge ist durch $0$ nach unten bzw. oben beschränkt.
\item Oft kann man nach Bestimmung der ersten Folgenglieder obere und untere Schranken vermuten. Diese Vermutung lässt sich oft per Induktion begründen.
\item Gilt $a_{n+1}-a_n\geq 0$ bzw. $a_{n+1}-a_n>0$ für alle $n\in\mathbb{N}$? Falls ja: Die Folge ist monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend.
\item Gilt $a_{n+1}-a_n\leq 0$ bzw. $a_{n+1}-a_n<0$ für alle $n\in\mathbb{N}$? Falls ja: Die Folge ist monoton fallend bzw. streng monoton fallend.
\item Gilt $\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1$ bzw. $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ für alle $n\in\mathbb{N}$? Falls ja: Die Folge ist monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend.
\item Gilt $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq 1$ bzw. $\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$ für alle $n\in\mathbb{N}$? Falls ja: Die Folge ist monoton fallend bzw. streng monoton fallend.
\item Besteht die Vermutung, dass die Folge (streng) monoton fallend bzw. steigend ist, so kann man dies oft per Induktion begründen.
\end{itemize}
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Def.: Konvergenz und Grenzwert [HMiR]
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Back: [latex]%
Man nennt eine Folge $(a_n)$ \emph{konvergent} mit \emph{Grenzwert} $a\in\mathbb{R}$, falls es zu jedem $\epsilon>0$ ein $N\in\mathbb{N}$ gibt mit
\[|a_n-a|<\epsilon\quad\text{für alle}\quad n\geq N.\]
Man sagt dann auch $(a_n)$ \emph{konvergiert gegen} $a$ und schreibt
\[a_n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}a\quad\text{oder}\quad a_n\longrightarrow a\quad\text{oder}\quad\lim_{n\to\infty}a_n=a.\]
Konvergiert $(a_n)$ nicht, so nennt man $(a_n)$ \emph{divergent}. Und eine Folge, die gegen den Grenzwert $0$ konvergiert, nennt man kurz \emph{Nullfolge}.
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Konvergenz- bzw. Divergenzkriterien und weitere Eigenschaften [HMiR]
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Gegeben ist eine Folge $(a_n)$.
\begin{enumerate}
\item Falls $(a_n)$ konvergiert, so ist ihr Grenzwert $a$ eindeutig bestimmt.
\item Ist $(a_n)$ konvergent, so ist $(a_n)$ beschränkt.
\item Ist $(a_n)$ unbeschränkt, so ist $(a_n)$ nicht konvergent.
\item Das \emph{Monotoniekriterium}: Ist $(a_n)$ beschränkt und monoton fallend oder monoton wachsend, so ist $(a_n)$ konvergent.
\item Das \emph{Cauchy-Kriterium}: Eine Folge $(a_n)$ konvergiert genau dann, wenn gilt:
\[\forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N}:\quad|a_n-a_m|<\epsilon\quad\text{für alle}\quad n,m\geq N.\]
\end{enumerate}
\textit{Das Cauchy- und Monotoniekriterium erlaubt eine Entscheidung über die Konvergenz, auch wenn man den Grenzwert nicht kennt.}
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Def.: Bestimmte Divergenz [HMiR]
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Back: [latex]%
Man nennt eine Folge $(a_n)$
\begin{itemize}
\item \emph{bestimmt divergent gegen $+\infty$}, falls: $\forall_{K\in\mathbb{R}}\exists_{N\in\mathbb{N}}\forall_{n\geq N}\,a_n>K$,
\item \emph{bestimmt divergent gegen $-\infty$}, falls: $\forall_{K\in\mathbb{R}}\exists_{N\in\mathbb{N}}\forall_{n\geq N}\,a_n<K$.
\end{itemize}
Man schreibt dann
\[a_n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\pm\infty\quad\text{oder}\quad\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty.\]
Es gilt:
\begin{itemize}
\item $a_n\to +\infty\implies\frac{1}{a_n}\to 0$,
\item $a_n\to -\infty\implies\frac{1}{a_n}\to 0$,
\item $a_n\to 0,a_n>0\implies\frac{1}{a_n}\to +\infty$,
\item $a_n\to 0,a_n<0\implies\frac{1}{a_n}\to -\infty$.
\end{itemize}
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