Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 19

Front: [latex]%
Thm.: Regel von L'Hospital [HMiR]
[/latex]
Back: [latex]%
Gegeben sind zwei differenzierbare Funktionen $f,g:(a,b)\to\ mathbb{R}$, wobei $-\infty\leq a<b\leq\infty$. Weiter gelte:
\[\ lim_{x\to b}f(x)=\lim_{x\to b}g(x)=0\quad\text{oder}\quad\lim_{x\to b}f(x)=\ lim_{x\to b}g(x)=\infty.\]Falls $\lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in\ mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ ist, so gilt
\[\lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\ lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]
Das gilt analog für Grenzwerte $x\ to a$.
[/latex]
Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 19
Other fields (not shown on cards):
Logo: tum_logo.png

Front: [latex]%
Def.: Konvexität und Konkavität [HMiR]
[/latex]
Back: [latex]%
Eine Funktion $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ heißt
\begin{itemize}
\item \emph{konvex} auf $[a,b]$, falls für alle $x,y\in[a,b]$ mit $x\neq y$:
\[f(x+t(y-x))=f((1-t)x+ty)\leq(1-t)f(x)+tf(y)\;\forall t\in[0,1].\]
\item \emph{strikt konvex} auf $[a,b]$, falls für alle $x,y\in[a,b]$ mit $x\neq y$:
\[f(x+t(y-x))=f((1-t)x+ty)<(1-t)f(x)+tf(y)\;\forall t\in(0,1).\]
\item \emph{konkav} auf $[a,b]$, falls für alle $x,y\in[a,b]$ mit $x\neq y$:
\[f(x+t(y-x))=f((1-t)x+ty)\geq(1-t)f(x)+tf(y)\;\forall t\in[0,1].\]
\item \emph{strikt konkav} auf $[a,b]$, falls für alle $x,y\in[a,b]$ mit $x\neq y$:
\[f(x+t(y-x))=f((1-t)x+ty)>(1-t)f(x)+tf(y)\;\forall t\in(0,1).\]
\end{itemize}
[/latex]
Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 19
Other fields (not shown on cards):
Logo: tum_logo.png

Front: [latex]%
Kriterium für Konvexität bzw. Konkavität [HMiR]
[/latex]
Back: [latex]%
Ist $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ zweimal stetig differenzierbar, so gilt:
\begin{itemize}
\item $f$ ist genau dann konvex auf $[a,b]$, wenn $f''(x)\geq 0\;\forall x\in[a,b]$.
\item $f$ ist genau dann konkav auf $[a,b]$, wenn $f''(x)\leq 0\;\forall x\in[a,b]$.
\item Ist $f''(x)>0\ ;\forall x\in[a,b]$, so ist $f$ strikt konvex.
\item Ist $f''(x)<0\ ;\forall x\in[a,b]$, so ist $f$ strikt konkav.
\end{itemize}
[/latex]
Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 19
Other fields (not shown on cards):
Logo: tum_logo.png

Front: [latex]%
Thm: Die Jensen'sche Ungleichung
[/latex]
Back: [latex]%
Sei $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ konvex, $n\geq 2$, $x_1,\dots,x_n\ in(a,b)$, $p_1,\dots,p_n>0$ und $\sum_{i=1}^np_i=1$. Dann gilt
\[f\ left(\sum_{k=1}^np_kx_k\right)\leq\sum_{k=1}^np_kf(x_k)\]
\textit{Die AM-GM-Ungleichung kann aus dem Spezialfall der Jensen'schen Ungleichung mit $f(x)=ln(x)$ hergeleitet werden.}
[/latex]
Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 19
Other fields (not shown on cards):
Logo: tum_logo.png