Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 21

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Die Existenz des Integrals
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Sei $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ beschränkt. $f$ ist genau dann integrierbar, wenn für jeden $\epsilon>0$ eine Zerlegung $Z$ existiert, so dass
\[|O_Z(f)-U_Z(f)|<\epsilon.\]
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Def.: Gleichmäßig stetige Funktionen (epsilon delta)
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Eine Abbildung $f:D\to\mathbb{R}$ heißt \emph{gleichmäßig stetig} genau dann, wenn
\[\forall\epsilon>0\,\exists\delta>0\,\forall x,x_0\in D:|x-x_0|<\delta\implies|f(x)-f(x_0)|<\epsilon.\]
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Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung [HMiR]
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\begin{itemize}
\item Ist $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ eine stetige Funktion, so ist \marginnote{Der HS besteht aus zwei Teilen. In der VL wurde nur des erste Teil als HS bezeichnet, der zweite Teil folgte als eigenständiger Satz.}
\[F:[a,b]\to\mathbb{R},\quad F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\]
differenzierbar und eine Stammfunktion zu $f$, d.h. für alle $x\in[a,b]$ gilt $F'(x)=f(x)$.
\item Ist $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ eine stetige Funktion und $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ eine Stammfunktion zu $f$, so gilt:
\[\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).\]
\end{itemize}
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Def.: Stammfunktion
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Sei $f,F:[a,b]\to\mathbb{R}$ und $F$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar in $(a,b)$. $F$ heißt \emph{Stammfunktion} von $f$, wenn gilt
\[F'(x)=f(x)\,\forall x\in(a,b).\]
Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ und $c\in\mathbb{R}$, so ist auch $F+c$ eine Stammfunktion von $f$. Stammfunktionen sind bis auf eine additive Konstante eindeutig.
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