Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 24

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Def.: Differenzierbarkeit ($d\geq 2$)
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Eine Funktion $f:D\to\mathbb{R}^m$ ($D\subseteq\mathbb{R}^n$) heißt \emph{differenzierbar} mit Ableitung $A\in M_{n\times m}(\mathbb{R})$ falls
\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{\lVert x-x_0\rVert}=0.\]
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Def.: Richtungsableitung, partielle Ableitung, Gradient [HMiR]
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Gegeben ist ein Skalarfeld
\[f:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x=(x_1,\dots,x_n)^T\mapsto f(x)=f(x_1,\dots,x_n).\]
\begin{itemize}
\item Für jeden Vektor $v$ mit $\lVert v\rVert=1$ bezeichnet für $a\in D$ die Zahl
\[\frac{\partial f}{\partial v}(a)=\partial_vf(a)=f_v(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+hv)-f(a)}{h}\]
die \emph{Richtungsableitung} von $f$ in $a$ in Richtung $v$, falls dieser Grenzwert existiert.
\item Die Richtungsableitung
\[\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=\partial_if(a)=f_{x_i}(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+he_i)-f(a)}{h}\]
in $a$ in Richtung der Koordinatenachsen $e_1,\dots,e_n$ bezeichnet man als \emph{partielle Ableitung} von $f$ in $a$ nach $x_i$, falls dieser Grenzwert existiert.
\item Existieren die $n$ partiellen Ableitungen $f_{x_1},\dots,f_{x_n}$ in $a\in D$, so nennt man $f$ \emph{partiell differenzierbar} in $a$ und den Vektor
\[\nabla f(a)=\begin{pmatrix}
f_{x_1}(a) \\
\vdots \\
f_{x_n}(a) \\
\end{pmatrix}\]
den \emph{Gradienten} von $f$ in $a$. Das Symbol $\nabla$ nennt man auch \emph{Nabla-Operator} und schreibt auch $\text{grad}(a)=\nabla f(a)$.
\item Falls die Funktionen $f_{x_1},\dots,f_{x_n}$ stetig sind, gilt für $v$ mit $\lVert v\rVert=1$ und $a\in D$
\[\frac{\partial f}{\partial v}(a)=\langle\nabla f(a),v\rangle.\]
\end{itemize}
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Def.: Differentialoperatoren -- Gradient, Laplace
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In den folgenden Formeln sollen alle partiellen Ableitungen existieren und stetig sein:
\begin{itemize}
\item \emph{Gradient}: Der Gradient $\nabla$ ordnet einem Skalarfeld $f:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ das Vektorfeld $\nabla f$ zu:
\[\nabla f=\begin{pmatrix} \partial_1 f \\ \vdots \\ \partial_n f \\ \end{pmatrix}.\]
\item \emph{Laplaceoperator}: Der Laplaceoperator $\Delta$ ordnet einem Skalarfeld $f:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ ein Skalarfeld $\Delta f$ zu:
\[\Delta f=\sum_{i=1}^n\partial_i^2f=\partial_1f+\dots+\partial_n^2f.\]
\end{itemize}
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Def.: Taylorpolynom, Taylorreihe [HMiR]
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Gegeben ist ein Intervall $I\subseteq\mathbb{R}$ und ein $a\in I$.
\begin{itemize}
\item Ist $f:I\to\mathbb{R}$ eine $m$-mal differenzierbare Funktion, so nennt man
\[T_{m,f,a}(x)=\sum_{k=0}^m\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\]
das \emph{$m$-te Taylorpolynom zu $f$} im \emph{Entwicklungspunkt $a$} mit dem \emph{Restglied}
\[R_{m+1}(x)=f(x)-T_{m,f,a}(x).\]
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