Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 14

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Def.: Innere Punkte
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Sei $D\subseteq\mathbb{R}$ ($D\subseteq\mathbb{R}^n$). $x_0\in D$ heisst ein \emph{innerer Punkt} von $D$, falls es ein $\epsilon>0$ gibt, sodass $(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\subseteq D$.
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Def.: Differenzierbarkeit [HMiR]
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Eine Funktion $f:D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ heißt
\begin{itemize}
\item \emph{differenzierbar in $x_0\in D$}, falls der Grenzwert
\[c=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]
existiert. In diesem Fall nennt man diesen Grenzwert $c$ die \emph{Ableitung} von $f$ an der Stelle $x_0$ und schreibt
\[f'(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)=c.\]
\ item \emph{differenzierbar auf $D$}, falls $f$ in allen $x_0\in D$ differenzierbar ist. In diesem Fall ist
\[f':D\to\mathbb{R},x\mapsto f'(x)\]
eine (neue) Funktion. Man nennt sie die \emph{Ableitungsfunktion} zu $f$.
\end{itemize}
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