Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 25

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Der Konvergenzradius einer Potenzreihe [HMiR]
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Zu jeder Potenzreihe $f(x)=\sum_{k=0}^\infty(x-a)^k$ gibt es ein $R\in\mathbb{R}_{\geq 0}\cup\{\infty\}$ mit
\[f(x)\begin{cases*}
\text{konvergiert absolut} & $\forall x$ mit $|x-a|<R$ \\
\text{divergiert} & $\forall x$ mit $|x-a|>R$ \\
\text{keine allgemeine Aussage möglich} & $\forall x$ mit $|x-a|=R$ \\
\end{cases*}\]
Dabei treffen wir die folgenden Vereinbarungen:
\begin{itemize}
\item Im Fall $R=0$ gilt $K(f)=\{a\}$, und
\item im Fall $R=\infty$ gilt $K(f)=\mathbb{R}$.
\end{itemize}
Man nennt $R$ den \emph{Konvergenzradius}. Die zwei wichtigsten Formeln zur Berechnung von $R$ für eine Potenzreihe $f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k(x-a)^k$ lauten:
\[R=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|\quad\text{bzw.}\quad R=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{|a_k|}},\marginnote{In der VL wurde nur die linke Formel erwähnt.}\]
falls $\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|\in\mathbb{R}_{\geq 0}\cup\{\infty\}$ bzw. $\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{|a_k|}}\in\mathbb{R}_{\geq 0}\cup\{\infty\}$.
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Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 25
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