Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 20

Front: [latex]%
Def.: Integral (nach Darboux)
[/latex]
Back: [latex]%
Wir definieren das \emph{Unter-} und \emph{Oberintegral} von $f$ durch:
\begin{align*}
U(f) & =\sup\{U_Z(f): \text{$Z$ ist eine Zerlegung von $[a,b]$}\}\marginnote{$U_Z(f)$ und $O_Z(f)$ ist die Ober- bzw. Untersumme für die Zerlegung $Z$.}, \\
O(f) & =\inf\{O_Z(f): \text{$Z$ ist eine Zerlegung von $[a,b]$}\}.
\end{align*}
\textbf{Integral.} Es sei $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ beschränkt. Falls $U(f)=O(f)$, so heißt $f$ \emph{integrierbar} und das Integral von $f$ ist definiert durch
\[\int_a^bf(x)\,dx=U(f)=O(f).\]
\textbf{Bemerkung.} Ist $f$ integrierbar und $(Z^n)$ eine Folge von Zerlegungen $Z^n=\{x_0^n,\dots,x_n^n\}$ mit $\max_{1\leq i\leq n}|x_i^n-x_{i-1}^n|\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}0$, so gilt
\[\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}U_{Z^n}(f)=\lim_{n\to\infty}O_{Z^n}(f).\]
[/latex]
Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 20
Other fields (not shown on cards):
Logo: tum_logo.png

Front: [latex]%
Wichtige Ungleichungen zu integrierbaren Funktionen [HMiR]
[/latex]
Back: "[latex]%
Für Funktionen $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ gilt:
\begin{itemize}
\item Ist $f$ integrierbar, so gilt:\marginnote{An dieser Stelle noch nicht in der VL behandelt}
\[\left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\leq\int_a^b|f(x)|\ ,dx.\]
\item Sind $f$ und $g$ integrierbar, so auch $\lambda f+g,\lambda\ in\mathbb{R}$, und es gilt:
\[\int_a^b\left(\lambda f(x)+g(x)\right)\ ,dx=\lambda\int_a^bf(x)\,dx+\int_a^bg(x)\,dx.\]
[/latex]"
Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 20
Other fields (not shown on cards):
Logo: tum_logo.png

Q: Ist f [...] oder [...], so ist f integrierbar.
A: stetig; monoton
Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 20