Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 18

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Def.: Extrema und Extremalstellen [HMiR]
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Wir betrachten eine Funktion $f:D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Man nennt ein $x_0\in D$ \emph{Stelle eines}
\begin{itemize}
\item \emph{globalen Maximums}, falls $f(x_0)\geq f(x)\,\forall x\in D$.\\
Man nennt dann $f(x_0)$ das \emph{globale Maximum}.
\item \emph{globalen Minimums}, falls $f(x_0)\leq f(x)\,\forall x\in D$.\\
Man nennt dann $f(x_0)$ das \emph{globale Minimum}.
\item \emph{lokalen Maximums}, falls $\exists\epsilon>0:f(x_0)\geq f(x)\,\forall x\in (x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)$.\\
Man nennt dann $f(x_0)$ ein \emph{lokales Maximum}.
\item \emph{lokalen Minimums}, falls $\exists\epsilon>0:f(x_0)\leq f(x)\,\forall x\in (x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)$.\\
Man nennt dann $f(x_0)$ ein \emph{lokales Minimum}.
\end{itemize}
Gilt sogar $>$ anstelle $\geq$ bzw. $<$ anstelle $\leq$, so spricht man von \emph{strengen} oder \emph{strikten} lokalen oder globalen Extrema.
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Thm.: Ableitung an Extrema
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Die Funktion $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ sei im Punkt $x_0\in(a,b)$ differenzierbar. Wenn $f$ in $x_0$ ein lokales Extremum besitzt, dann ist $f'(x_0)=0$.
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Thm.: Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
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Ist $f:[a,b]\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ eine stetige und auf $(a,b)$ differenzierbare Funktion, so gibt es ein $x_0\in(a,b)$ mit
\[f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]
Es folgt:
\begin{itemize}
\ item Ist $f'(x)=0$ für alle $x$ eines Intervalls $D$, so ist $f:D\to\mathbb{R}$ konstant, also $f(x)=c$ für ein $c\in\mathbb{R}$.
\item Ist $f'(x)=g'(x)$ für alle $x$ eines Intervalls $D$ für zwei Funktionen $f,g:D\to\mathbb{R}$, so ist $f-g:D\to\mathbb{R}$ konstant, also $f(x)=g(x)+c$ für ein $c\in\mathbb{R}$.
\end{itemize}
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Eig.: Monotonie und Ableitung
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Sei $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ differenzierbar in $(a,b)$. Dann gilt
\begin{enumerate}
\item $f'>0$ in $(a,b)$ $\implies$ $f$ in $(a,b)$ streng monoton wachsen.
\item $f'<0$ in $(a,b)$ $\implies$ $f$ in $(a,b)$ streng monoton fallend.
\item $f'\geq 0$ in $(a,b)$ $\implies$ $f$ in $(a,b)$ monoton wachsen.
\item $f'\leq 0$ in $(a,b)$ $\implies$ $f$ in $(a,b)$ monoton wachsen.
\end{enumerate}
\textbf{Beweis.} Folgt aus dem Mittelwertsatz.
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