Title: MA0902_Analysis_Informatik / Analysis für Informatik - Vorlesung 13
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Title: MA0902_Analysis_Informatik::Analysis für Informatik - Vorlesung 13

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Def.: Konvergenz von Folgen
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Eine Folge $(x_n)$ in $\mathbb{R}^d$ \emph{konvergiert} gegen ein $x\in\mathbb{R}^d$ falls $\lim_{n\to\infty}\lVert x_n-x\rVert=0$. Wir schreiben $x_n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}x$ oder $\lim_{n\to\infty}x_n=x$.
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Def.: Kompakte Mengen ($d \geq 2$)
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% TODO was ist I
Eine Menge $A$ in $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}$ oder $\mathbb{C}^n$ heißt \emph{kompakt}, falls jede Folge $I=[a,b]$\marginnote{Was zur Hölle ist eine Folge definiert in Intervall-Schreibweise? $\to$~offenstehender Forum-Post} eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $A$ hat (Häufungspunkt).
\textbf{Äquivalente Definition.} Eine Teilmenge von $\mathbb{R}^d$ ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
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Front: [latex]%
Eig.: Maximum/Minimum aufgrund Kompaktheit ($d \geq 2$)
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Back: [latex]%
Sei $A$ kompakt und sei $f:A\to\mathbb{R}$ stetig. Dann hat $f$ ein Maximum und ein Minimum.
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Front: [latex]%
Eig.: Kompaktheit unter stetigen Abbildungen ($d \geq 2$)
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Back: [latex]%
Sei $D\subseteq\mathbb{R}^d$ kompakt und $f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^m$ stetig. Dann ist $f(D)$ kompakt.
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Front: [latex]%
Eig.: Umkehrung von stetigen, streng monotonen Abbildungen
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Sei $I\subseteq\mathbb{R}$ und $f:I\to\mathbb{R}$ stetig und streng monoton wachsend. Dann ist $f:I\to f(I)$ bijektiv und die Umkehrfunktion $f^{-1}:f(I)\to I$ ist ebenfalls stetig und streng monoton wachsend.
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Front: [latex]%
Def.: Kettenregel Grenzwerte?
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Back: [latex]%
Sei $\lim_{x \to a} f(x) = b$ und $g(x)$ stetig in $b$, so gilt $\lim_{x \to a} g(f(x)) = g(b) $
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